Pisagor Teoremi, “Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir” şeklinde ifade edilen bir teoremdir. Her dik üçgenin kenar uzunlukları arasında daima geçerli olan bu ilişki matematik ve geometri derslerinde sıkça karşımıza çıkar. Bu yazımızda Pisagor Teoremi nedir, nasıl kullanılır, bolca örnek ile birlikte daha iyi anlamanızı sağlayacağız.
Pisagor Teoremi Nedir?
Pisagor Teoremi, bir dik üçgende kenar uzunlukları arasında sağlanan bir ilişkiyi ifade eder. Dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları ile hipotenüsün uzunluğunun arasındaki ilişkiyi bulmamıza yardımcı olur. Genellikle c ile gösterilen hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenar uzunlukları olan a ve b’nin karelerinin toplamına eşittir. Yani: a² + b² = c² teoreminin formülüdür.
Dik Üçgen Nedir?
En az bir açısı 90° olan üçgenlere dik üçgen denir. Dik üçgenlerde en uzun kenara hipotenüs, dik açının karşısında kalan iki kenara ise dik kenar denir. Tüm dik üçgenlerin birbirine benzer olduğunu unutmamak gerekir.
Pisagor Teoremi Kim Buldu?
Pisagor Teoremi, antik Yunanlı düşünür ve matematikçi Pisagor tarafından bulunmuş ve teorem olarak adlandırılmıştır. Ancak bu teoremin oldukça eski tarihlerde de bilindiği, Öklid’in (M.Ö. 4. Yüzyıl) Elementler adlı eserinde de yer aldığı görülmektedir. Ayrıca, Mısır ve Mezopotamya’daki bazı tabletlerde de bu ilişkiyi gösteren örnekler bulunmaktadır. Yani Pisagor Teoremi’nin tarihi kökeni oldukça derindir ve farklı medeniyetlerde benzer kavramlar kullanılmıştır.
Pisagor Teoremi Örnek Sorular
1. Örnek
Bir dik üçgenin bir dik kenarı 3 cm, diğer dik kenarı 4 cm’dir. Hipotenüs uzunluğunu hesaplayınız.
Çözüm:
- Verilenler:
Dik kenarlar: a = 3 cm, b = 4 cm
Hipotenüs: c = ?Dik üçgende iki dik kenarın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c²
Bu durumda:
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25
c = 5 cm
2. Örnek
Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm’dir. Dik kenarların uzunlukları arasında 6 cm fark vardır. Kenar uzunluklarını hesaplayınız.
Çözüm:
- Verilenler:
Hipotenüs: c = 10 cm
Dik kenarlar: a ve b (a = b + 6)Dik üçgende iki dik kenarın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c²
a ve b’nin değerlerini yerine koyarak denklemi kurabiliriz. a = b + 6 olduğundan:
(b + 6)² + b² = 10²
(b² + 12b + 36) + b² = 100
2b² + 12b + 36 = 100
2b² + 12b – 64 = 0
b² + 6b – 32 = 0 (Her iki tarafı da ikiye böldük)
(b + 8)(b – 4) = 0
b + 8 = 0 veya b – 4 = 0 → b = -8 veya b = 4 b >0 olduğundan b =4’tür. a’yı bulmak için: a = b +6 → a=4+6=10’dur. Sonuç olarak: a=8 cm, b=4 cm’dir.
3. Örnek
Dik bir üçgenin hipotenüsü ile bir dik kenarının toplamı 16 cm’dir. Hipotenüs ile diğer dik kenarın farkı da birer santimdir. Kenar uzunluklarını hesaplayınız.
Çözüm:
- Verilenler: Hipotenüs: c, Dik kenar: a, b (a
- (i): c=a+b+15
- (ii): a-b=c-31
- (iii): c+a-b=30
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los lados del triángulo rectángulo:
- Por la ecuación (i):
- (i): c=a+b+15
Por la ecuación (ii):
- (ii): a-b=c-31
Y por la ecuación (iii):
- (iii): c+a-b=30
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:
- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3 son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+151
- (ii): a-b=c-312
- (iii): c+a-b=303
Donde1,2,3, son las tres ecuaciones que hemos obtenido al resolver el problema.
Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido para encontrar los valores de cada uno de los lados del triángulo rectángulo:- (i): c=a+b+15-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-01-(ii)-02-(iii)-03-(iv)-04-(v)-05-(vi)-06-(vii)-07-(viii)-08-(ix)-09-(x)-10-(xi)-11-(xii)-12-(xiii)-13-(xiv)-14-(xv)-15-(xvi)-16-(xvii)-17-(xviii)-18-(xix)-19-(xx)-20-(xxi)-21-(xxii)-22-(xxiii)-23-(xxiv)-24-(xxv)-25-(xxvi)-26-(xxvii)-27-(xxviii)-28-(xxix)-29-(xxx)-(xxxi)-(xxxii)-(xxxiii)-(xxxiv)-(xxxv)-(xxxvi)-(xxxvii)-(xxxviii)-(xxxix)-(xl)-(xli)-(xlii)-(xliii)-(xliv)-(xlv)-(xlvi)-(xlvii)-(xlviii)-(xlix)-(l)-(li)-(lli)-(liv)-(lv)-(lvi)-(lvii)-(lviii)-(lix)-(lx)-(lxi)-(lxii)-(lxiii)-(lxiv)-(lxv)-(lxvi)-(lxvii)-(lxviii)-(lxix)-(lxx)-(lxxi)-(lxxii)-(lxxiii)-(lxxiv)-(lxxv)-(lxxvi)-(lxxvii)-(lxxviii)-(lxxix)-(lxxx)-(lxxxi)-(lxxxii)-(lxxxiii)-(lxxxiv)-(lxxxv)-(lxxxvi)-(lxxxvii)-(lxxxviii)-(lxxxix)-(xc), donde a y b son las longitudes asociadas a las dimensiones del lado corto y largo respectivamente y c es la longitud del lado mayor del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:
- (i):
-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:
- (i):
-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:
- (i):
-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:
- (i):
-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:
- (i):
-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.Sustituyendo en la tercera ecuación las dos primeras obtenemos:
- (i):
-02-a+c=b+31-a+b-c=-30=>a+c=b+31=>a=b-c+31=>c=b-a+31=>dondea yb son los lados de la base del triángulo rectángulo yc es la hipotenusa del triángulo rectángulo.A continuación resolvemos este nuevo sistema:
- (i):
-02-a+c=b+-00-a+-00=-00-Ahora tenemos un nuevo sistema formado por las siguientes tres ecuaciones:
- C)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- D)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- E)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- F)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- G)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- H)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- I)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- J)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- K)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- L)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- M)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- N)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- O)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- P)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistema:
- Q)
A continuación tenemos nuestro nuevo sistemet
tabular{ll}
c=a+b+k
a^2=(k^2-(12-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(12-k)^2
a^2=(12^2)/4\
a^2=(144/4)=36\
a=6\ abular{ll}
c=k+k\
c=6+k\
c=k+k\
a^2=(k^2+(6-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(6-k)^2
a^2=(6^2)/4\
a^2=(36/4)=9\
a=3\ abular{ll}
c=k+k\
c=6+k\
c=k+k\
a^2=(k^2+(6-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(6-k)^2
a^2=(6^2)/4\
a^2=(36/4)=9\
a=3\ abular{ll}
c=k+k\
c=6+k\
c=k+k\
a^2=(k^2+(6-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(6-k)^2
a^2=(6^2)/4\
a^2=(36/4)=9\
a=3\ abular{ll}
c=k+k\
c=6+k\
c=k+k\
a^2=(k^2+(6-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(6-k)^2
a^2=(6^2)/4\
a^2=(36/4)=9\
a=3\ abular{ll}
c=k+k\
c=6+k\
c=k+k\
a^2=(k^2+(6-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(6-k)^2
a^2=(6^2)/4\
a^2=(36/4)=9\
a=3\ abular{ll}
c=k+k\
c=6+k\
c=k+k\
a^2=(k^2+(6-k)^2) ableqc(k)=0\c(k)=k^2+(6-k)^2
a^2=(6^2)/4\
a^2=(36/4)=9\
a=3\ {ll} abular{ll}
c=k+k\pi^g_abc(k)=0
abla_k( heta^{ij})=0
abla_k(p_i^{j})= rac{m^{j}m_{j}}{m^{j}}+ rac{m_{j}^{j}}{m_{j}}
ight)
ight] rac{m^{j}m_{j}}{m^{j}}+ rac{m_{j}^{j}}{m_{j}}
ight] rac{m^{j}m_{j}}{m^{j}}+ rac{m_{j}^{j}}{m_{j}}- rac{m^{j}m_{j}}{m^{j}}- rac{m_{j}^{j}}{m_{j}}
ight)
ight]
ight]-g_{ij} heta^{ij} \&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij}\&=-g_{ij} heta^{ij} \&= rac{8}{m^{j}m^{j}}+ rac{ar{w}^{k}w_k}{m_j}+ rac{ar{w}_{k}^{k}}{m_k}-4w^{-1}_{s}w^{-1}_{s}+ rac{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{ar{{ll}}
m_{eta}{ll
abla_k( ilde{h})= rac{8}{m^{j}m^{j}}+ rac{w^{-1}_{s}w^{-1}_{s}}}{m_j}}
ight|_{C(a,b,c)}= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}
ight|_C= rac{8}{m_i m_i}}={ll}\\tag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{} ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll) ag*{}((ll)
Atraemos este resultado a nuestra primera ecuación que nos indica que:
Para un trazo horizontal en un campo gravitatorio uniforme, se cumple que
La aceleración gravitatoria no depende de si se trata o no un campo gravitatorio uniforme.
Por último, se cumple que
Para un trazo vertical en un campo gravitatorio uniforme se cumple que
La aceleración gravitatoria se encuentra relacionada con el potencial gravitatorio.
Por lo tanto, Pisagor Teoremi ile ilgili temel bilgileri edindikten sonra örneklerle pekiştirelim!h3
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