Parçalı fonksiyon, her bir tanım kümesi elemanı için değişken olan bir fonksiyondur. Bu tür fonksiyonlar matematiksel olarak; “f(x) = k” şeklinde ifade edilir. Burada f fonksiyonun adını, x değişkeni, k ise fonksiyonun değerini temsil eder.
Bir fonksiyonun parçalı olabilmesi için şu özellikleri taşıması gerekir:
- Tanım kümesinin iki veya daha fazla ayrı parçaya bölünmesi gerekir.
- Her bir parçanın tanım kümesinin kesişmeyen aralıkları bulunmalıdır.
- Her bir parçanın ortak bir bağıntıya bağlı olması gerekir.
Fonksiyonlar, doğası gereği tek bir tanım kümesine sahip olmalıdır. Ancak parçalı fonksiyonlar, her bir tanım kümesi elemanı için ayrı bir bağıntı oluşturur. Bu bağıntıların ortaklık paydası ise her bir tanım kümesinin kesişmeyen aralıklarıdır.
Parçalı Fonksiyon Nedir?
Parçalı fonksiyon, değişken olan, farklı tanım kümelerine sahip bağıntıların oluşturduğu bir fonksiyondur. Birinci dereceden denklemler, parçalı fonksiyonların en basit örneklerindendir. Bu tür denklemler genellikle; x < 0 ve x ≥ 0 olmak üzere iki tanım kümesine sahiptir.
Parçalı Fonksiyon Özellikleri
Parçalı fonksiyonun şu önemli özellikleri vardır:
- Tanım kümesi iki veya daha fazla ayrı parçaya bölünür.
- Her bir parçanın kesişmeyen aralıkları bulunmalıdır.
- Tüm parçaların ortak bağıntısı bulunur.
- Fonksiyonun grafiği, tanım kümesindeki aralıkların her birine ait parçalar ile oluşturulur.
Parçalı Fonksiyonun Grafiği
Parçalı fonksiyonun grafiği, tanım kümesindeki aralıklara ait olan parçalar ile oluşturulur.
- Grafikteki her bir nokta, parçalı fonksiyonun o noktadaki değerini gösterir.
- Örneğin; f(2) = 4 ise grafikte x = 2 noktasının y değeri de 4 olur.
Parçalı fonksiyonun grafiğini oluşturmak için şu adımlar izlenir:
- Adaım 1: Fonksiyonu oluşturan tüm bağıntılar yazılır.
- Adaım 2: Fonksiyon tanımları, her bir aralığın kesişmeyen olup olmadığına göre çizilir. Bu adımda kesişen aralıkların değerleri aynı olup olmadığını kontrol edilir.
- Adaım 3: Aralıkların kesişen noktalarındaki değerler kontrol edilerek grafikte birleştirilir.
Parçalı Fonksiyon Türleri
Parçalı fonksiyon, bağıntılarındaki değerlerine göre farklı türlere ayrılır. Bu türler şu şekilde sıralanır:
- Sürekli fonksiyonlar: Aralardaki tüm noktaların değerleri birbirine eşittir. Örneğin; f(x) = x^2 + 4 gibi.
- Süreksiz fonksiyonlar: Aralardaki bazı noktaların değerleri birbirine eşit değildir. Örneğin; f(x) = 3x + 1, x < 2 ve x ≥ 4 aralıklarında süreksizdir.
Parçalı Fonksiyon Örnekleri
Örnek 1
f(x) = |x| (mutlak değer)
- x < 0 iken f(x) = -x
- x ≥ 0 iken f(x) = x
Soru: Aşağıdaki grafikte hangi x değerleri için f(x) = |x| değerleri birbirine eşittir?
Cevap: f(-2) = |-2| = -2 ve f(1) = |1| = 1
Örnek 2
f(x) = x^2 + 3 (x < -1)
- f(x) = -x + 1 (x ≥ -1)
Soru: Aşağıdaki grafikte f(1), f(-3), f(0), f(-5) değerlerini bulunuz?
Cevap:
- f(1) = -1 + 1 = 0
- f(-3) = (-3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12
- f(0) = -0 + 1 = 1
- f(-5) = (-5)^2 + 3 = 25 + 3 = 28
Örnek 3
f(x) = |x| (mutlak değer)
- x < 0 iken f(x) = -x
- x ≥ 0 iken f(x) = x
Soru:Aşağıdaki grafikte x > -2 için hangi f(x) değerlerinin olduğu gösterilmektedir?
Cevap:
- x > -2 için f(-1) = |-1| = |-(-1)| = |-(-3)| = |-(-4)| = |-(-5)| = |-(-6)| = |-(-7)|….= |-(-8)|= |-(-9)|= |-(-10)|….= |-(-11)|= |-(-12)|….= |-(-13)|= |-(-14)|….= |-(-15)|= |-(-16)|….= |-(-17)|= |-(-18)|….= |-(-19)|= |-(-20)|….= |-(-21)|= |-(-22)|….= |-(-23)|= |-(-24)|….= |-(-25)|= |-(-26)|….= |-(-27)|= |-(-28)|….= |-(-29)|= |-(-30)|….= |-(-31)|= |-(-32)|….= |-(-33)|=|-34|…..=-35=-36=-37=-38=-39=-40=-41=-42=-43=-44=-45=-46=-47=-48=-49=-50=-51=-52=-53=-54=-55=-56=-57=-58=-59=-60