Matematiksel modelleme sayesinde hayatımızı etkileyen birçok problemi matematiksel olarak ifade edip çözüme kavuşturabiliriz. Örneğin:
- Sıcaklık Değişimi: Sıcaklık değişiminde saat ile derece cinsinden sıcaklık arasındaki ilişkiyi ifade ederiz.
- Yüzey Alanı: Geometrik cisimlerin yüzey alanlarını hesaplamak için, geometrik cisimlerin boyutları ile yüzey alanı arasındaki ilişkiyi ifade ederiz.
- Alan Problemi: Bahçenin alanını büyütmek için kaç tane çiçek ekebileceğimizi hesaplamak için, ekilecek çiçek sayısı ile alan arasındaki ilişkiyi ifade ederiz.
- Gelir Problemi: İki ay önceki gelirimiz ile şu anki gelirimiz arasındaki değişimi ifade ederiz.
- Seyir Problemi: Turu tamamlamak için gidilen yol, seyahat süresi ve ortalama hız arasındaki ilişkiyi ifade ederiz.
Matematiksel Modelleme Nedir?
Gerçek dünyada yaşanan olayların matematiksel kavramlar kullanılarak matematiksel ilişki ve denklemlerle ifade edilmesine matematiksel modelleme denir. Matematiksel modelleme yardımıyla gerçek dünyadaki olayları daha iyi anlayabiliriz ve daha kolay çözüm yolları bulabiliriz.
Matematiksel Modelleme Ne İşe Yarar?
Matematiksel modelleme sayesinde karmaşık görünen gerçek hayattaki bir problem matematiksel ifadeler kullanılarak daha anlaşılır hale getirilebilir. Bu durum problemin daha iyi anlaşılmasını ve çözüm yolu bulabilmeyi sağlar. Örneğin:
- Ekonomik verilerde analiz: Ekonomik verilere dayalı olarak gelecekteki ekonomik gidişat hakkında öngörülerde bulunmak için ekonomideki ekonomik göstergelerin geçmiş verileri ile gelecekteki durumu arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade ederiz.
- Trafik yoğunluğu analizi: Trafik yoğunluğu problemini, belirli bir bölgede trafik akışını temsil eden matematiksel formül kullanarak çözmeye çalışırız.
- Eğitim verilerinde analiz: Eğitime dayalı verilere dayalı olarak gelecekteki eğitim durumu hakkında öngörülerde bulunmak için eğitimdeki göstergelerin geçmiş verileri ile gelecekteki durum arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade ederiz.
Matematiksel Modelleme Süreci
- Problemin Analizi ve Tanımı: Problemin açık bir şekilde tanımlanması ve problemin tüm bileşenlerinin analizi yapılır.
- Model Oluşturma: Problemin matematiksel ifadelerle modellenmesi gerçekleştirilir.
- Modelin Analizi: Oluşturulan matematiksel modelin analizi yapılır.
- Modelin Testi ve Doğrulama: Model, gerçek dünya verileriyle test edilir ve doğruluğu kontrol edilir.
- Modelin Uygulaması: Test aşamasından geçen model, gerçek dünya problemlerinin çözümünde uygulanır.
Matematiksel Modelleme Örnekleri
Aşağıda günlük yaşamdan bazı örnekler verilmiştir. Bu örneklerde gerçek hayattaki olayları ifade ederken matematiksel kavramlar kullanılmıştır.
- Sıcaklık Problemi:
Sıcaklığın zamana bağlı değişimi sorusu aşağıdaki gibi sorulabilir:
Saat 0’da bir odadaki sıcaklık 15 derece olsun. Oda yavaş yavaş ısındığına göre odanın sıcaklığı saat t’de 15+5t derece olarak değişmektedir. Buna göre odanın sıcaklığı saat 4’te kaç derece olacaktır?
Buna göre saat ile sıcaklık arasındaki ilişkiyi t ile S(t) sıcaklığı arasındaki fonksiyon kullanılarak matematiksel olarak ifade etmiş olduk. Yani;
S(t)=15+5t
S(4)’ü bulup, 4. saatte odanın sıcaklığının 35 derece olduğunu bulabiliriz.
- Küplenin Yüzey Alanı Problemi:
Küpe ait bir yüzey alanı sorusu aşağıdaki gibi sorulabilir:
Küçük bir küpün kenar uzunluğu 5 cm’dir. Buna göre bu küpün yüzey alanı kaç cm²’dir?
Buna göre kenar uzunluğu ile küpün yüzey alanı arasındaki ilişkiyi L ile A(L) yüzey alanı arasındaki fonksiyon kullanılarak matematiksel olarak ifade etmiş olduk. Yani;
A(L)=6L²
A(5)’i bulup, küpün yüzey alanının 150 cm² olduğunu bulabiliriz.
- Gelir Problemi:
Bir gelire ait bir soru aşağıdaki gibi sorulabilir:
İki ay önce evin aylık geliri 5000 TL, bu ay ise 7000 TL’dir. Buna göre evin gelirindeki artış oranı nedir?
Buna göre iki ay önceki gelir ile bu ay ki gelir arasındaki ilişkiyi G₁ ile G₂ arasındaki ilişki kullanılarak matematiksel olarak ifade etmiş olduk. Yani;
Artış Oranı=((G₂-G₁)/G₁)*100
Düzenleyip gelirin artış oranının %40 olduğunu bulabiliriz.
- Seyir Problemi:
Seyir problemi aşağıdaki gibi sorulabilir:
Arabası olan bir kişi Kocaeli’den Sakarya’ya yola çıktıktan 20 dakika sonra arabası bozuldu. Araba tamircide 1 saat kaldıktan sonra yola devam ederek Sakarya’ya ulaştı. Arabası bozulmasaydı Sakarya’ya ulaştığı süreyi hesaplayın.
Buna göre süre, gidilen yol ve araba hızı arasındaki ilişkiyi t ile s(t) yol arasındaki fonksiyon kullanılarak matematiksel olarak ifade etmiş olduk. Yani;
s(t)=v.t (v=ortalama hız)
Düzenleyip, arabası bozulmasaydı yolculuğun toplam süresinin 1 saat 20 dakika yani 80 dakika olduğunu bulabiliriz.
- Eğitim Problemi:
Eğitimle ilgili bir soru aşağıdaki gibi sorulabilir:
Ülkede 2015 yılında ilkokul öğrencisi sayısı 10 milyon iken, her yıl %3 artmaktadır. Buna göre ülkemizde kaç ilkokul öğrencisi vardır?
Buna göre zamanla ilkokul öğrencisi sayısı arasındaki ilişkiyi t ile S(t) öğrenci sayısı arasındaki fonksiyon kullanılarak matematiksel olarak ifade etmiş olduk. Yani;
S(t)=10*(1+0.03)^t
(t=2015’ten itibaren geçen yıl sayısı)
Konu Sonuçları
- Bazı gerçek hayat olaylarını açıklarken kullandığımız matematik kavramlarının ilişkisini modelleme yaparak gösteririz.
- Bazı problemlerde verilen bilgileri kullanarak modellemeler yapıp problemin çözümüne ulaşabiliriz.