Logaritma Örnekleri

Logaritma, bilinmeyen bir sayının bazı tabanlara göre kuvvetini bulmaya yarayan matematiksel işlemdir. Logaritma işlemi, tam sayılar arasında yapılabildiği gibi ondalık sayılar arasında da yapılabilmektedir.

Logaritma Nedir?

Logaritma, bir sayının tabana oranı olarak ifade edilen kuvvetidir. Matematiksel gösterimi şu şekildedir:

b^y = x
log_bx = y
b: Logaritmanın tabanı
x: Logaritmanın değeri
y: Logaritmanın kuvvetidir.

Örneğin; 2 tabanında 8 logaritması, 2’nin 8’e eşit olması için neyin kuvveti olması gerektiğini bulmaktır. Burada 2’nin kuvveti olan 3, 8’e eşit olduğundan log₂8 = 3 olacaktır.

Logaritma işlemi ile hesaplamaları kolaylaştırmak ve büyük rakamları daha anlamlı hale getirmek mümkündür.

Logaritmanın Tarihçesi

Bazı kaynaklarda 1614’te John Napier tarafından icat edildiği belirtilse de, Arap matematikçi Muhammed bin Musa el-Harezmi’nin 9. yüzyılda yazdığı logaritma tablosu olduğu bilinmektedir. Bu nedenle logaritmanın icadı net bir şekilde belirlenememektedir.

Logaritma, ilk olarak astronomik hesaplamalar için kullanıldı. Uzak mesafelerdeki yıldızların ve gezegenlerin mesafelerini ölçmek için gereken hesaplamalarda logaritma tablosu kullanıldı.

Logaritmanın ilk uygulanışı bilimde olmuştur. Zamanla matematiğin alt dalı olan cebir ve geometri alanlarında da kullanılmaya başlanmıştır.

Logaritma Türleri Nelerdir?

Logaritmanın iki türü bulunmaktadır:

Sade Logaritma
Tamsayılı Logaritma

Sade logaritmada sayılar tam sayı olarak ifade edilmezken, tamsayılı logaritmada sayılar tam sayı olarak ifade edilmektedir.

Sade Logaritma

Sade logaritmada, logaritma değeri yani kuvvet ondalıklı bir sayı olarak ifade edilir.

Örnek: log₅56 = 2,33 şeklindedir. Burada 5’in kuvveti olan 2,33 değeri 56’ya eşit olmaktadır.

Tamsayılı Logaritma

Tamsayılı logaritmada ise logaritmanın değeri yani kuvvet tam sayı olarak ifade edilir.

Örnek: log₄64 = 3 şeklindedir. Burada 4’ün kuvveti olan 3 değeri 64’e eşit olmaktadır.

Logaritmanın Özellikleri Nelerdir?

Logaritmanın bazı özellikleri şunlardır:

Bölme İşlemi: log_b(x/y) = log_bx – log_by
Çarpma İşlemi: log_b(xy) = log_bx + log_by
Pozitif Taban Kuralı: b > 0 ve b ≠ 1 ise log_bx pozitif bir değere sahiptir.
Kuvvet İşlemi: log_b(x^k) = k * log_bx şeklindedir.
Birinci Değer Kuralı: log_bb = 1’dir.
İkinci Değer Kuralı: log_b1 = 0’dır.
Taban Değeri Kuralı: b > 0 ve b ≠ 1 ise tabanda b bulunan logaritmanın değeri pozitif x için pozitif, negatif x için negatiftir.
Taban ve Kuvvet Değeri İlişkisi: b^a= c ise log_bc= a’dır.
Kuvvet ve Taban Değeri İlişkisi: a > 0 ve a ≠ 1 ise a^x= b ⇔ log_ab= x’dir.

Bir Sayının Tabanı Olabilir Mi?

Logaritmada taban olarak pozitif sayı ve 1 dışındaki her sayı alınabilir.

-1 ≤ b < 0 veya b > 1 ise taban olabilir.
Bunların dışında bir sayı taban olamaz.
Eğer b ≤ 0 sayıysa tanımsızdır.

Logaritma Nasıl Hesaplanır?

Bir sayının logaritması hesaplanırken şu adımlar izlenebilir:

Birinci Adım: Sayılar pozitif olarak tanımlanmalıdır.
İkinci Adım: Tabanın pozitif ve 1’den farklı olması gerekmektedir.
Üçüncü Adım: Taban ile sayı arasındaki ilişki analiz edilmelidir. Sayı tabandan küçükse kuvvet negatif, büyükse kuvvet pozitif olur.
Dördüncü Adım: Sayı tabana oranlanarak kuvvet bulunur.
Bütünlük Kontrolü: Kuvvet tam sayı ise tamsayı logaritması, ondalıklı ise sade logaritmasıdır.
Soru Cevap: Kuvvet bulunmadan önce sorunun cevabı kontrol edilmelidir.
-5 > 0 değil ve -5 < 1 değil => Tabana uymuyor
-5 > 0 değil ve -5 > 1 => Tabana uymuyor
-5 < 0 ve -5 > 1 değil => Tabana uymuyor
-5 < 0 ve -5 < 1 => Tabana uymuyor
-5’in tabanı olamaz. online