Asal sayılar, yalnızca bir ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayılar olan sayılardır. Matematikte önemli bir yere sahip olan asal sayılar, birçok alanda kullanılır. Bu sayılar serisinde hiç bir asal sayı 0 ve 1’e eşit değildir. 2, 3, 5, 7, 11, 13 gibi sayılar asal sayı örneklerindendir. Asal sayıların özellikleri ile birlikte verilmiş örneklerini inceleyerek bu sayıların nasıl olduğunu anlamak mümkündür.
Asal Sayı Nedir?
Asal sayı, yalnızca bir ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayı olan sayıdır. Başka bir deyişle asal sayı, başka hiçbir pozitif tam sayıya tam olarak bölünemeyen sayıdır. Matematiksel olarak P(x) ifadesiyle gösterilir. P(x)’in 1 ve x olduğuna dikkat edilmelidir. Evrenin en temel yapı taşları olarak da adlandırılan asal sayılar, tüm sayıları oluşturan en basit bileşenlerdir.
Asal Sayıların Özellikleri Nelerdir?
Asal sayılar ile ilgili bilinecek temel özellikler şunlardır;
- Asal sayılar sınırsızdır. Yani sonsuz miktarda asal sayı vardır.
- Asal sayıların içerisinde tek rakamlı en küçük sayı 2’dir.
- Asal sayı olan tek çift sayı 2’dir.
- Asal sayıların arasında en küçük fark 1’dir.
- Asal sayıların toplamı her zaman çift sayıdır. Tek sayıda iki asal sayının toplamı ile elde edilir.
- İki asal sayının çarpımı daima ardışık iki sayı oluşturur. Örneğin 3 x 5 = 15 ve 5 x 7 = 35’dir.
- Eğer p asal sayı ise p² + p + 1 ifadesi de asal sayıdır.
Asal Sayılar Kaçtan Kaça Kadardır?
Asal sayılar kaçtan kaça kadar olduğu sorusu çok sık sorulur. İlk 25 asal sayı şöyle sıralanır; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97’dir.
Asal Sayılar Neden Önemlidir?
Asal sayılar matematiksel sistem içerisinde büyük öneme sahiptir. Çünkü tüm tam sayılar benzersiz bir şekilde asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir. Ayrıca asal sayılar kriptografi alanında da önemlidir. Şifreleme algoritmaları büyük ve karmaşık asal sayılara dayanır.
En Küçük Asal Sayılar Nelerdir?
En küçük asal sayılar şöyle sıralanır; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ve 23 şeklindedir.
Asal Sayı Formülleri Nelerdir?
Asal sayılar için bazı formüller de bulunur. Bunlar;
- P(n) = (6n ±1)
- 4 = P(1)
- 7 = P(2)
- 10 = P(3)
- 13 = P(4)
- 16 = P(5)
- 19 = P(6)
- 22 = P(7)
- 25 = P(8)
- 28 = P(9)
- 31 = P(10)
(6n ±1) formülü sayesinde asal sayılara ulaşmak mümkündür. Bu formülde n=0,1,2… değerlerini alır.
Asal Sayılar ile İlgili Sıkça Sorulan Sorular
Asal Sayıların En Büyük Değeri Hangisidir?
Matematiksel sistem içerisinde en büyük asal sayı tanımlanmış değildir. Ancak günümüzde en büyük asal sayı olarak Mersenne asal sayıları tanımlanır. Mersenne asal sayıları şunu ifade eder;
- M(n) = 2n-1 şeklinde tanımlanır. Örneğin n=127 için M(127)=2127-1=1701411834606846975 şeklindedir.
0 ve 1 Asal Sayı mıdır?
0 ve 1’in asal sayı olup olmadığına yönelik tartışmalar zaman içerisinde farklı şekillerde sonuçlanmıştır. Ancak günümüzde matematiksel sistem içerisinde kabul edilen tanım doğrultusunda hem 0 hem de 1 asal sayı değildir.
Eğer p Asal Sayı İse p² + p + 1 Asal mıdır?
Eğer p asal sayı ise p² + p +1 ifadesinin asal olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Her p için bu ifade asal sayı üretmez.
p² -1 Asal Sayı mıdır?
Eğer p asal sayı ise p² -1 ifadesi daima çifttir ve dolayısıyla yalnızca p=2 için asaldır.