Küme; içinde belirli bir özellik taşıyan nesnelerin veya sayıların bir araya gelmesiyle oluşturulan topluluklardır. Matematiksel bir tanım yapacak olursak küme, belirli bir özelliğe sahip elemanların oluşturduğu topluluktur. Genellikle parantez, köşeli parantez veya süslü parantez ile gösterilir.
Küme Tanımı
Matematikte küme; belirli bir özelliğe sahip olan nesnelerin bir araya gelmesiyle oluşan topluluktur. Küme, genellikle köşeli parantez veya süslü parantez içinde gösterilir. Örneğin, A kümesi şöyle tanımlanabilir:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Bu ifadede A, 1, 2, 3, 4 ve 5 sayılarını içeren kümenin adıdır. Bu kümede 5 tane sayı bulunduğu için bu kümeye beş elemanlı küme denir.
Küme Elemanı Nedir?
Küme elemanı; kümenin içinde bulunan nesne veya sayılara denir. Kümenin içinde bulunmayan nesne veya sayılara ise küme elemanı denmez.
Örneğin, A kümesi şöyle tanımlanmış olsun:
A = {1, 2, 3}
Burada A kümesinin elemanları 1, 2 ve 3’tür. Dolayısıyla 1, 2 ve 3 sayıları A kümesinin elemanıdır.
Küme Örnekleri
Aşağıda bazı kümeler ve bu kümelerin özellikleri verilmiştir:
- Doğal Sayılar Kümeleri : Doğal sayılar; sıfır ve pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar kümesi şöyle gösterilir:
N = {0, 1, 2, 3…}
- Tam Sayılar Kümesi : Tam sayılar; negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayalardır. Tam sayılar kümesi şöyle gösterilir:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}
- Rasyonel Sayılar Kümesi : Rasyonel sayılar; iki tam sayının birbirine bölümüyle elde edilen sayılardır. Rasyonel sayılar kümesi şöyle gösterilir:
Q = {a/b | a ∈ Z ve b ∈ Z ve b≠0}
- İrrasyonel Sayılar Kümesi : İrrasyonel sayılar; rasyonel olmayan yani iki tam sayının birbirine bölümüyle elde edilemeyen sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesine I harfi ile gösterilir.
I = {x ∈ R | x
a/b, a ∈ Z ve b ∈ Z ve b≠0}
- Gerçek Sayılar Kümesi : Gerçek sayılar; rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur. Gerçek sayılar kümesi R harfi ile gösterilir:
R = Q ∪ I
- Sayılar Kümesi : Sayılar; içlerinde belirli bir özellik taşıyan sayıların oluşturduğu topluluktur. Sayılar kümesinin elemanları genellikle n harfi ile gösterilen doğal sayıların belirli bir özelliği taşıyan alt kümeleridir.
Küme Gösterimi
Küme gösterimi; belirli bir özelliğe sahip nesne veya sayıların oluşturduğu topluluğun matematiksel olarak yazılmasıdır. Küme gösterebilmek için aşağıdaki kurallara uyulması gerekir:
- Kümenin içinde bulunan elemanlar kesin olarak biliniyorsa; bu elemanlar süslü parantezler içinde yazılır.
- Kümenin içinde bulunan elemanlar kesin olarak bilinmiyorsa; bu elemanların özellikleri belirtilir.
- Kümenin elemanları arasında virgül olmalıdır.
- Kümenin adı mutlaka büyük harfle başlamalıdır.
Küme Elemanları Arasındaki İlişki
- Bir kümenin içinde bulunan bir nesne veya sayı o kümenin elemanı denir.
- Bir kümenin içinde bulunmayan bir nesne veya sayı o kümenin elemanı değildir.
- Küme sembolü kullanılarak gösterilen bu durumlar matematiksel olarak şöyle ifade edilir:
- A ∈ X: A kümesinin içinde X nesnesi vardır.
- A ∉ Y: A kümesinin içinde Y nesnesi yoktur.
Kümelerin Eşitliği
Eğer iki kümenin de tüm elemanları birbirine eşitse bu iki küme birbirine eşittir. Bu durum matematiksel olarak şöyle gösterilir:
A = B ↔ (∀x) ( x ∈ A ↔ x ∈ B )